公交驾驶员不良驾驶行为调查与特征分析以成都

1 基于马尔科夫决策的批量订购动态定价模型

1.1 问题描述与假设

(1)铁路公司销售一趟从A地直达B地的班列车票，在有限时间内完成销售，班列的座位容量有限。

(2)公司面临三种不同类型的顾客，第一类顾客为对价格非常不敏感，但对时间非常敏感，购票时选择购买高价票;第二顾客对价格非常敏感，对时间不敏感，倾向于购买低价票;第三类顾客对时间和价格均轻微敏感，选择购买中间价位车票。模型不考率低价顾客的升级购买行为。

(3)铁路公司针对不同车票进行定价，顾客到达后根据心理保留价格判断是否会购买车票。同一等级下顾客的心理保留价格独立同分布，且分布函数为已知的。

(4)顾客到达后以一定的概率进行批量购买，批量购买享受固定折扣，铁路公司设定最大购票数限制，限制倒卖车票行为。

(5)任何时间的订座需求是一个非负随机变量，并且不同时刻的需求相互独立。

(6)不考虑超售、退票和no－show(指:顾客购票后未成功乘车)

2.2 符号说明

建立模型需要如下的基本参数。

C为班列座位容量，即班列可装载的最大乘客数;t为决策阶段，0＜t＜T，t=0表示铁路公司开始销售车票，t=T表示销售的最后一期;i为顾客购买的座位等级，i=(1，2，…，I);pi为铁路公司针对第i个座位等级制定的价格。Λi=表示第i个座位等级的可行价格集，其中表示可行价格数目，不失一般性，假定:

(1)

(2)高等级座位的最高价格高于低等级座位的最高价格。

(3)pi∈Λi=［1，2，3］，铁路公司针对第i个座位等级制定的价格从价格集Λi中选取。

N为预期全部类型车票产品的潜在顾客总数;βi为需求中i类顾客潜在需求的比例;为t时段需要i舱位票的潜在顾客需求到达率(到达率P=N/T，表示单位时间内到达的顾客)，且记表示没有顾客到达的概率;Vt(x)为在t时刻，各路段剩余座位容量为x的情况下，从开始销售到t时刻铁路公司能取得的最大期望收益;f(pi)为第i个座位等级顾客在面临车票价格为pi时购买概率分布函数，为对应的概率累积函数，记表示顾客购买的概率。记R(p)=P·(1－F(p))·p表示实际收益率。

P(y=j)表示顾客到达后购买j张车票的概率，记P(y=

Di(j)表示第i类顾客批量购买j张车票能享受的折扣。

1.2 模型

由假设知，铁路公司的售票期间内存在一个马尔科夫生灭过程。在该过程内，公司在离散时间下进行决策。将时间区间划分为足够多的决策阶段，使得在单位阶段内到最多到达一个潜在顾客。铁路公司通过定价影响消费者需求，在每个阶段，分别对不同类型的购票请求进行接受或拒绝，以实现销售期间内总收益最大。

为了便于分析和计算，设定足够大的离散时间阶段(T个阶段)，由此将时间区域［T，0］划分成单位长度为1的决策周期。假设在任意时刻t，公司面临剩余座位数量为K，则期望收益Vt(K)可以由前一阶段多个状态的收益转移而来。铁路售票公司面临的马尔科夫决策过程表示如图1所示。

图1 公司决策过程示意图

由图知，当决策期间内没有顾客到达时，Vt(K)由转移而来;当第i类顾客到达后，因车票售价超出其心理保留价格选择放弃购买的，由转移而来;当顾客到达后决定购买j张车票时，由转移而来。铁路公司选择接受或是拒绝购买的条件为(当且仅当)。

故T期间内，最大座位容量为C时，铁路公司能获得期望收益

式(1)的约束条件为:

(1)V0(x)=0，?x∈［0，T］，这表明销售期开始前，不论剩余座位多少，期望总收益为零。

(2)Vt(0)=0，这表明，剩余座位为零的情况下，期望总收益为零。

定义一组包含所有产品的价格的数组为一个价格方案，那么记P*=arg max(VT(C))，P*∈Γ为最优价格方案，其中Γ为价格方案的全集。

1.3 求解简化过程——最大凹向包络理论

最大凹向包络定理:取任意k≥0，收益函数V(t，k)对任何预先确定的价格集合Γ，存在一组价格子集

Γ0∈Γ，Γ0={p1，p2，…，pnum}，满足:

(1)在价格Γ0下，R(λ)是的λ凹函数，单调递增;

(2)对任意价格Γ1，Γ0?Γ1?Γ，且Γ1≠Γ0，R(λ)不是λ的凹函数或者递增函数;

(3)如果pi∈/Γ0，任意时刻pi不能成为决定价值函数Vt(k)的最优价格。

对本模型，全部采用最高价格的方案始终在最优价格子集中;除Γ1外的其他价格方案如果包含包络线上，必须满足以下条件，其中l=1，2，…，L－k，L表示所有可行价格方案的个数。搜索最优定价时，仅对包络线中包含的价格组合需予以考虑，将能显著降低计算量。

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